Collatz-en Konjektura

Matematikari askoren ustez Collatz-en Konjektura oraindik ebatzi gabe geratzen diren problema matematikoen artean zailenetarikoa da. Orain dela urte batzuk 700.000€ baino gehiagoko saria eskaini zuten hura ebazteko gai denarentzat. Hala ere, batzen eta biderkatzen dakien lehen hezkuntzako haur batek ere uler dezake zertan datzan.

Hollywoodetik datozen telesail edota filme gehienei kasu egingo bagenie, matematikari baten lana zirriborro ulergaitzez beteriko arbela batean planteatutako problema konplexuak ebaztea dela pentsatuko genuke. Arbeleko formulak gero eta luzeagoak, hobe, eta suposatzen duten erronka, handiagoa eta zailagoa. Errealitatea, ordea, zeharo desberdina izan ohi da. Sarritan, enuntziatu eta adierazpen motz eta sinpleak dituzten problemak izan ohi dira zailtasun kontzeptual handienen iturri. Beste modu batean esanda, ezin dira gutxietsi galdera sinple batek ezkuta ditzakeen buruhausteak.

Aurrera egin baino lehen, argi dezagun konjektura hitzaren esanahia. Azken batean, artikuluaren tituluan azaltzen bada, izango du eta bere garrantzia. Matematikarien lana zenbaki mota desberdinen, forma geometrikoen eta egitura aljebraikoen arteko erlazioak eta haien ezaugarri bereizgarriak ikertzea da. Jardun horretan, egia izan daitezkeen esaldi edo adierazpenak proposa ditzake matematikariak: Bi zenbaki bakoitiren batura zenbaki bikoiti bat da, edota Infinitu zenbaki lehen existitzen dira. Logika formalaren eta lengoaia matematikoaren arauak erabiliz proposamen horiek frogatzea lortzen bada, adierazpen horiek teorema bihurtzen dira. Ordea, enuntziatu zehatz batentzat frogapenik ez bada aurkitu, susmo hutsa besterik ez bada, konjektura izena hartzen du. Konjektura guztiak, jakina, ez dira teorema bihurtzen. Nahikoa da kontradibide bakar bat aurkitzea konjektura bat balioztatzeko; hasiera batean egiazkotzat geneukan susmoa ideien zabortegira erbesteratzeko.

Orain bai, gaurko gaiari buruz hitz egiteko prest gaude. Collatz-en konjektura ulertzeko modu errazena umeentzako zenbaki jolas baten modukoa dela pentsatzea da. Hona hemen jolasaren arauak: 1) Hautatu edozein zenbaki positibo, komarik gabea. 2) Hautatuako zenbakia bikoitia bada, birekin zatitu; ordea, zenbakia bakoitia bada, lehenengo biderkatu hirurekin eta ondoren gehitu bat. 3) Eskuratutako zenbaki berriari bigarren pausoa behin eta berriro aplikatu.

Jolas gehienekin gertatzen den moduan, adibide on batek edozein azalpen baino gehiago balioko du. Har dezagun hasierako puntutzat, esaterako, 3 zenbakia. Hau bakoitia denez, hirurekin biderkatuz eta bat gehituz 10 zenbakira iritsiko gara. Azken hau bikoitia denez, birekin zatituko dugu, 5era iritsiz, eta hau bakoitia denez, hirurekin biderkatuz eta bat gehituz 16 zenbakia eskuratuko dugu. Segidako hurrengo zenbakiak 8,4,2 eta 1 izango lirateke. Behin 1 zenbakira iritsita, hurrengo pausuan 4 zenbakira itzuliko gara, eta ondoren, azken hau birritan birekin zatituz, berriro ere 1 zenbakira helduko gara. Beste modu batean esanda, behin 1 zenbakira iritsita, 1-4-2-1 zikloa behin eta berriz errepikatzen da.

Beste edozein zenbakirekin egin dezakezu proba, adibidez 9arekin (argazkiko espiralean aurkituko duzu erantzuna), eta ia ziurtasun osoz berriro ere 1 zenbakira iritsiko zara; 1-4-2-1 zikloan bukatuko da segida. Hasiera batean bitxikeria dirudien patroia (hau da, edozein zenbakirekin hasiz, segida toki berean bukatzea) berehala bihurtu zen susmo, berehala bihurtu zen konjektura: “Edozein zenbakirekin hasita, joko honek emandako segida beti iristen da bat zenbakira”.

Lehen 100 zenbakiekin proba egin eta denak iristen dira ziklo berdinera. Lehen 10.000 zenbakiekin proba egin eta, lehenago edo beranduago, segida guztiak iristen dira 1 zenbakira.

Batzuetan segida oso azkar iristen da ziklora (adibidez, 128 zenbakiarentzat 7 pauso nahikoa dira), eta beste batzuetan gehiago itxaron behar izaten da (esaterako, 27 zenbakiak 111 pauso behar ditu). Kasualitate handiegia ez ote da? Arrazoi sakonen bat ote dago gauzak hala izateko? Zenbaki joko txiki hau Lothar Collatz matematikari alemaniarrak proposatu zuen 1937. urtean. Laurogeita zazpi urte geroago, inor ez da gauza izan baliozko frogapen bat emateko, ezta kontradibide bakar bat emateko ere. Ordenagailuen laguntzaz lehenengo 300 trillioi (hogei zero ditu zenbaki honek!) zenbakiak konprobatu dira, eta bakar batek ere ez du huts egin!

Ez al da hori ebidentzia nahikoa, konjektura egia dela ziurtatzeko? Zergatik ez da Collatz-en konjektura Collatz-en Teorema bilakatu? Matematikariak oso zorrotzak dira arlo horretan: kontradibiderik aurkitu ez izanak ez du inolaz froga formal batek beste balio. Gainera, ez litzateke konjektura baten lehen kontradibidea zenbaki erraldoi bat den lehenengo aldia izango. 1919. urtean Pólya-ren konjektura delakoak ospe handia bildu zuen garaiko matematikarien artean. Konjektura honek zenbaki baten zatitzaile lehen kopuruarekin du zerikusia, baina ez dugu xehetasunetan murgildu beharrik. Garaiko baliabide konputazionalak erabiliz Pólya-ren konjektura gutxienez lehenengo 10 milioi zenbakientzat betetzen zela bermatzea lortu zen, eta ondorioz komunitate matematiko osoa sinetsita zegoen konjektura egia izango zela. 1960. urtean, ordea, Russell Sherman matematikari estatu batuarrak 906.180.359 zenbakiak konjekturak zioena gezurtatzen zuela erakutsi zuen, eta horrela Pólya-ren konjektura guztiz baliogabe utzi zuen.

Gertakari hark irakaspen baliotsu bat zabaldu zuen matematikarien artean: zenbakien erreinuan edozer gerta daiteke, eta joera egonkor bat dirudienak ezusteko bat edo beste ezkuta dezake. Beltz guztiak ez dira ikatz, ezta zuri guztiak irin ere.

Gaurkotasunera itzuliz, 2021. urtean Bakuage enpresa multinazional japoniarrak 120 milioi yeneko (700.000 € inguru) saria eskaini zuen Collatz-en konjektura frogatu edo gezurta zezakeen lehen pertsonarentzat. Konjektura benetan egia bada, hau da, edozein zenbakirekin hasita segida 1 zenbakira iristen bada, froga zehatz eta zuzen bat aurkeztu beharra dago saria erreklamatzeko. Ordea, konjektura gezurra bada, nahikoa da kontradibide bat aurkitzea sari potoloa poltsikoratzeko!

Paul Erdős matematikari hungariarrak, XX. mendeko pentsalari emankorrenetariko batek, hauxe esan zuen Collatz-en konjekturaren inguruan: “Matematikak agian ez daude prest halako problemei aurre egiteko”. Eta zuk, zer uste duzu? Egongo al da hor nonbait, zenbaki erraldoien erreinuan, inoiz 1 zenbakira iristen ez den segida sortzen duen zenbakiren bat? Edo lortuko al du baten batek ezinezkoa dirudien buruhauste hau argitzea?

Kronika egunero, euskaraz eta doan jasotzen segi ahal izateko, Kronikakide gehiago behar dira, eta zer esanik ez, proiektu komunikatibo sendo eta profesional bat garatu nahi badugu.
Egin zaitez KronikaKide!