ADI! Sekzio bakoitzaren hasieran egoera konkretu bat deskribatuko dut, ondoren horren inguruko galdera edo gogoeta bat mahaigaineratzeko. Erantzuna irakurri baina lehen buruari buelta pare bat ematera gonbidatzen zaitut!
Tomateak eguzkitan
Demagun ostegunetako azokan 100 kg tomate erosi dituzula. Hauek kalitate handikoak dira, baratzetik ekarri berriak, eta haien pisuaren %99-a ura da. Azokatik bueltan, tomateak eguerdiko eguzkipean utzi dituzu ahaztuta, lagunekin berriketan geratu baitzara. Jasotzera itzuli zarenean tomateak apur bat deshidratatu direla ohartu zara, hau da, ur apur bat galdu dute. Orain, tomateen konposizioaren %98-a besterik ez da ur. Hona hemen nire galdera: zenbat pisatzen dute orain tomateek?
Asmakizun honek ehunekoekiko eta proportzioekiko dugun intuizioarekin jolasten du. Hasiera batean senak tomateen pisua ezin dela gehiegi aldatu esaten digu: azken batean, pisuaren %1-a besterik ez da galdu, ezta? Ba ezusteko polita hartuko zenuke tomateak berriro baskula gainean jartzean, orain 50 kg besterik ez zaizkizu gelditzen eta! Nola liteke posible?
Erantzuna sinple xamarra da. Hasiera batean, tomateen %99-a ura zenean, 99 kg ur eta 1 kg mami zeneuzkan. Eguzkiak bere lana egin ondoren, uraren zati bat galdu egin da, baina tomateen zati solidoa, hau da, mamia, ez da inora joan. Beste modu batean esanda, 1 kg mami izaten jarraitzen duzu. Orain, ordea, zati solido hori pisuaren %2-a da, ura %98-a besterik ez baita. Baina kilogramo bakar bat pisuaren %2-a bada, guztizko pisua 50 kg-koa izan behar da nahitaez!
Tomateak gora, tomateak behera, asmakizun txiki honek ehunekoak modu tranpatian erabil daitezkeela erakusten digu. Albistegietan eta sare sozialetan agertzen diren datu asko ehuneko moduan azaltzen zaizkigunez, hauek benetan ulertzen saiatzea ezinbesteko zaigu herritar kritikoak izango bagara.
Urtebetetze festa(k)
Oporretatik bueltan, Haur Hezkuntza-ko irakasle bati ikasle talde berri bat esleitu diote hurrengo kurtsorako. Hogeita hiru umek osatzen dute gela berria. Lehenengo egunean kartulinazko egutegi handi batean ume bakoitzaren urtebetetze eguna idaztea bururatu zaio, horrela ume bakoitzaren egunean ez zaio ospakizun txiki bat antolatzea ahaztuko. Urtebetetze egun guztiak idazten bukatu duenean, gelako bi umek urtebetetze egun bera dutela ohartu da. Kasualitatea, pentsatu du irakasleak. Azken batean, 23 umek besterik ez dute osatzen gela, eta urteak 365 ditu.
Hementxe nire gogoetarako planteamendua: zenbaterainoko kasualitatea izan da gutxienez bi umek urtebetetze eguna partekatzea? Kaletik zoazela 23 pertsonari haien urtebetetzea galdetuz gero, zenbatean behin esango zenuke lortuko zenukeela errepikapenen bat? Eta 23 pertsona beharrean 50 balira?
Ez dut espero hau irakurri bezain pronto zure buruan ehuneko jakin bat izatea, ezta askoz gutxiago ere. Ados egongo gara, ordea, lehen bihozkadak probabilitatea txiki xamarra izango dela esaten digula. Ba hauxe da matematikek diotena: 23 pertsonako talde batean gutxienez bi pertsonek urtebetetze egun bera izateko probabilitatea %50,7-koa da, hau da, apur bat errazagoa da errepikapenen bat egotea pertsona guztiek urtebetetze egun desberdina izatea baino. Hori nahikoa ez balitz, pertsona kopurua handitu eta 50 lagun hartzen baditugu, probabilitatea %97-ra igotzen da: ia ziurtasun osoz esan genezake gutxienez urtebetetze errepikapen bat egongo dela!
Apur bat sinesgaitz badirudi ere, emaitza hau ezagun samarra da matematika munduan, non Urtebetetzearen Paradoxa izenaz den ezaguna. Igande arratsalde batean etxean aspertuta bazaude, emaitza hau zure kabuz baieztatzera gonbidatzen zaitut. Bilatu interneten asteburuko lehen mailako futbol partida baten hasierako hamaikakoak, adibidez Flashscore.com webgunean. Epailea kontuan hartuta, 23 pertsona dira guztira partida bakoitzeko: hamaika jokalari talde bakoitzean eta epailea bera. Euren jaiotegunak begiratu (webgunean bertan ageri dira) eta baieztatu ea errepikapenen bat badagoen. Gauza bera egin beste hiruzpalau partidarekin; kasualitate handi baten ezean, matematikek haien indarra erakutsiko dizute.
Monty-Hall
Kontatzera noan hirugarren asmakizun hau klasiko bat da, eta ziurrenik hiru asmakizunen artean harrigarriena ere.
Demagun telebista saio batean zaudela, sari potoloak banatzen dituzten saio horietako batean. Aurkezleak hiru ate erakusten dizkizu, itxuraz berdin-berdinak direnak. Ate horietako baten atzean auto berri distiratsu bat dago, baina beste bi ateek ez dute ezer beste aldean. Aurkezleak ate bat aukeratzeko eskatzen dizu, autoa duen atea aukeratuz gero hau zuretzako izango dela hitzemanez. Zuk, behatzak gurutzatuta, ate bat aukeratzen duzu. Suspentse apur bat sorrarazteko, aurkezleak (zeinak oso ondo dakien zer dagoen ate bakoitzaren atzean) aukeratu ez dituzun beste bi ateetako bat zabaltzen du; beste aldea hutsa dagoela erakutsi dizu. Beraz, bi ate geratzen dira zabaldu gabe: zuk hautatutakoa eta beste bat.
Beste ezer egin baino lehen, aurkezleak eskaintza berezi bat egiten dizu: hasiera batean hautatu duzun atearekin jarraitu, ala erabakia aldatu eta ireki gabe gelditzen den beste atea hautatzeko aukera ematen dizu. Hona hemen Monty Hall-en dilema: zein izan beharko litzateke zure estrategia auto berri hori eskuratzeko aukera handienak eduki nahi badituzu? Hasierako atearekin jarraitzea? Beste atera aldatzea? Berdin dio, autoa irabazteko aukerak ez dira aldatzen?
Asmakizun hau lehenengoz entzutean apustu egingo nuke intuizioak atea aldatzeak ala ez eraginik ez duela esaten dizula. Honaino irakurtzera iritsi bazara, ordea, ez zara harrituko erantzuna hasiera batean esperoko genukeena ez dela entzutean. Izan ere, erantzun zuzena atez aldatzea da!
Hona hemen zergatia: hasierako hautaketa egitean ate irabazlea aukeratzeko probabilitatea heren bat besterik ez da, eta kale egitekoa, bi heren. Demagun orain zure estrategia hasierako atearekin jarraitzea izan dela. Beste hitz batzuetan, hasierako hautaketan asmatu egin duzula uste duzu. Autoa irabazteko probabilitatea, beraz, ez da aldatu: heren batekoa da. Zure estrategia, ordea, atez aldatzea izan bada, gauzak apur bat aldatzen dira; hasiera batean ate egokia hautatu baduzu, atea aldatzean hutsik dagoen batera egin duzu aldaketa, baina hasierako hautaketan kale egin baduzu, atea aldatzeak nahitaez autoa duen atera eramango zaitu (aurkezleak hutsik dagoen beste atea zabaldu baitu)! Hasieran kale egiteko probabilitatea bi heren zenez, atea aldatzeak autoa irabazteko bi hereneko aukerak eman dizkigu: beste estrategiarekin alderatuz alde nabarmena!